MAA2 Funktioner och ekvationer 1 — repetition inför studentexamen

Mitä sensori odottaa tästä moduulista

MAA2:n ydin on polynomien käsittely: toisen asteen yhtälön varma ratkaiseminen, tekijöihinjako ja epäyhtälöiden merkkitarkastelu. Nämä ovat pitkän matematiikan yleisimmin tarvittuja tekniikoita — derivaatan nollakohdat, integroinnin rajat ja todennäköisyyksien ehdot palautuvat lähes aina toisen asteen yhtälöön tai epäyhtälöön. Sensori odottaa, että valitset ratkaisumenetelmän perustellusti (tulon nollasääntö, ratkaisukaava, diskriminantti) ja että epäyhtälön vastaus annetaan joukkona tai välinä, ei yksittäisinä pisteinä.

Ydinkäsitteet

• Polynomifunktio — muotoa P(x) = a_n x^n + ... + a_1 x + a_0; aste on korkein eksponentti, jonka kerroin ei ole nolla.
• Nollakohta — luku x, jolla P(x) = 0. Asteen n polynomilla on enintään n reaalista nollakohtaa.
• Toisen asteen yhtälö — ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). Ratkaisukaava: x = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac)) / (2a).
• Diskriminantti — D = b^2 - 4ac. Jos D > 0, kaksi reaalijuurta; jos D = 0, yksi (kaksoisjuuri); jos D < 0, ei reaalijuuria.
• Tulon nollasääntö — tulo on nolla täsmälleen silloin, kun vähintään yksi tekijä on nolla: ab = 0 ⇔ a = 0 tai b = 0.
• Tekijöihinjako — jos x_1 ja x_2 ovat nollakohdat, niin ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2). Yleisemmin: x_0 on polynomin nollakohta täsmälleen silloin, kun (x - x_0) on sen tekijä.
• Paraabeli — toisen asteen polynomifunktion kuvaaja; aukeaa ylöspäin, kun a > 0, ja alaspäin, kun a < 0. Huipun x-koordinaatti on -b/(2a).
• Epäyhtälö — ratkaistaan nollakohtien ja merkkikaavion avulla; kertominen negatiivisella luvulla kääntää epäyhtälömerkin.