MAA10 3D-geometria — kertaus yo-kokeeseen

Mitä sensori odottaa tästä moduulista

MAA10 mittaa kahta taitoa: osaatko pelkistää avaruuskuvion tasokuvioksi ja osaatko käsitellä avaruuden vektoreita ja tasoja koordinaateilla. Kokeessa tehtävä alkaa lähes aina kappaleen mitoista ja päättyy tilavuuteen, pinta-alaan, kulmaan tai etäisyyteen. Sensori odottaa, että piirrät tai kuvailet sanallisesti sen suorakulmaisen kolmion, josta puuttuva mitta ratkaistaan — pelkkä oikea loppuluku ilman tätä välivaihetta ei tuo täysiä pisteitä. Kaavat saa taulukkokirjasta, joten pisteet tulevat siitä, että osaat valita oikean kaavan ja perustella, mistä sen muuttujat tulevat. Yksiköt ovat tässä moduulissa erityisen herkkä paikka: pituus, ala ja tilavuus skaalautuvat eri tavoin.

Ydinkäsitteet

• Suora lieriö — pohja ja sen kanssa yhtenevä kansi; tilavuus V = A_p * h, ympyrälieriöllä V = pi * r^2 * h ja vaippa 2 * pi * r * h.
• Kartio — kärjellinen kappale ympyräpohjalla; V = (1/3) * pi * r^2 * h, vaippa pi * r * s, missä s on sivujana.
• Pyramidi — kärjellinen kappale monikulmiopohjalla; V = (1/3) * A_p * h.
• Pallo — V = (4/3) * pi * r^3 ja pinta-ala A = 4 * pi * r^2.
• Sivujana s — kartion kärjestä pohjaympyrän kehälle; s = sqrt(r^2 + h^2).
• Leikkauskuvio — tason ja kappaleen yhteinen osa. Pallolla aina ympyrä, lieriöllä ympyrä tai suorakulmio, kartiolla ympyrä, kolmio tai kartioleikkaus.
• Avaruusvektori — a = (a_1, a_2, a_3); pituus |a| = sqrt(a_1^2 + a_2^2 + a_3^2).
• Pistetulo — a . b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3*b_3 = |a| * |b| * cos(kulma). Nolla tarkoittaa kohtisuoruutta.
• Tason normaalimuotoinen yhtälö — Ax + By + C*z + D = 0, jossa n = (A, B, C) on tason normaalivektori.
• Pisteen etäisyys tasosta — d = |Ax0 + By0 + C*z0 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2).