MAA3 Geometria — kertaus yo-kokeeseen

Mitä sensori odottaa tästä moduulista

MAA3:ssa mitataan kyky mallintaa tilanne kuvioksi ja valita oikea työkalu: yhdenmuotoisuus, sini- tai kosinilause, ympyrän kulmatulokset tai avaruuskappaleen tilavuuskaava. YO-kokeen geometriatehtävä alkaa lähes aina kuvan piirtämisellä ja merkitsemisellä — sensori seuraa ratkaisua kuvan kautta, ja nimeämättömät kulmat tai sivut tekevät päättelystä seuraamattoman. Pelkkä kaavaan sijoittaminen ei riitä: on perusteltava, miksi juuri tämä lause soveltuu (mitkä tiedot tunnetaan, mitä kysytään).

Ydinkäsitteet

• Yhdenmuotoisuus — kuviot ovat yhdenmuotoiset, kun vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen suhde (mittakaava k) on vakio. Pinta-alojen suhde on k^2 ja tilavuuksien suhde k^3.
• Sinilause — kolmiossa a / sin A = b / sin B = c / sin C. Käytä, kun tunnet kulman ja sen vastaisen sivun parin.
• Kosinilause — a^2 = b^2 + c^2 - 2bc * cos A. Käytä, kun tunnet kaksi sivua ja niiden välisen kulman tai kaikki kolme sivua. Pythagoraan lause on erikoistapaus (A = 90°, cos A = 0).
• Kolmion pinta-ala — A = (1/2) * a * h tai kahden sivun ja välikulman avulla A = (1/2) * b * c * sin A.
• Kehäkulmalause — kehäkulma on puolet samaa kaarta vastaavasta keskuskulmasta. Erikoistapaus (Thaleen lause): puoliympyrän kaaren kehäkulma eli halkaisijaa vastaava kehäkulma on suora.
• Tangentti — ympyrän tangentti on kohtisuorassa sivuamispisteeseen piirrettyä sädettä vastaan.
• Avaruuskappaleiden tilavuudet — lieriö (myös särmiö): V = A_pohja * h; kartio (myös pyramidi): V = (1/3) * A_pohja * h; pallo: V = (4/3) * pi * r^3 ja pallon pinta-ala A = 4 * pi * r^2.
• Avaruuslävistäjä — suorakulmaisen särmiön lävistäjä d = sqrt(a^2 + b^2 + c^2); saadaan soveltamalla Pythagoraan lausetta kahdesti.