MAA6 Derivaatta — kertaus yo-kokeeseen

Mitä sensori odottaa tästä moduulista

MAA6 on pitkän matematiikan painopiste: raja-arvon idea, derivointisäännöt ja derivaatan käyttö funktion kulun tutkimiseen ja ääriarvotehtäviin. YO-kokeessa derivaatta on lähes varma aihe, ja tehtävät pisteytetään vaiheittain: derivointi, nollakohtien ratkaisu, kulkukaavio tai muu merkkiperustelu ja johtopäätös. Sensori odottaa erityisesti, ettet julista nollakohtaa suoraan maksimiksi tai minimiksi — derivaatan nollakohta on vasta ehdokas, ja laatu on perusteltava derivaatan merkin vaihtumisella.

Ydinkäsitteet

• Raja-arvo — arvo, jota f(x) lähestyy, kun x lähestyy kohtaa a; merkitään lim(x→a) f(x). Raja-arvo voi olla olemassa, vaikka f(a) ei olisi määritelty.
• Jatkuvuus — f on jatkuva kohdassa a, kun lim(x→a) f(x) = f(a). Polynomit ovat kaikkialla jatkuvia, rationaalifunktiot määrittelyjoukossaan.
• Erotusosamäärä — (f(x) - f(a)) / (x - a) on sekantin kulmakerroin; derivaatta on sen raja-arvo, kun x → a.
• Derivaatta — f'(a) on kuvaajan tangentin kulmakerroin kohdassa a eli funktion hetkellinen muuttumisnopeus.
• Derivointisäännöt — D(x^n) = n * x^(n-1), D(c * f) = c * f', D(f + g) = f' + g', vakion derivaatta on 0.
• Tulon ja osamäärän derivaatta — D(fg) = f'g + fg' ja D(f/g) = (f'g - fg') / g^2, kun g ≠ 0.
• Kriittinen piste — kohta, jossa f'(x) = 0; paikallinen ääriarvo voi olla vain tällaisessa kohdassa tai määrittelyvälin päätepisteessä.
• Kulkukaavio — taulukko derivaatan merkeistä nollakohtien välissä; f kasvaa, kun f' > 0, ja vähenee, kun f' < 0.