MAA7 Integraalilaskenta — kertaus yo-kokeeseen

Mitä sensori odottaa tästä moduulista

MAA7 rakentuu yhden idean varaan: integrointi on derivoinnin käänteisoperaatio, ja määrätty integraali lasketaan integraalifunktion arvojen erotuksena. YO-kokeessa integraali esiintyy lähes aina jossain muodossa — pinta-alana, tilavuutena tai kertymänä. Pisteytys menee vaiheittain: integraalifunktio, rajojen määrittäminen, sijoitus ja sievennys sekä lopputuloksen tulkinta. Sensori odottaa erityisesti, että pinta-alatehtävässä perustelet, mistä integroimisrajat tulevat ja kumpi käyrä on ylempänä — pelkkä oikea luku ilman tätä perustelua ei riitä täysiin pisteisiin.

Ydinkäsitteet

• Integraalifunktio — funktio F, jolle F'(x) = f(x). Niitä on äärettömän monta, ne eroavat toisistaan vain vakiolla.
• Määräämätön integraali — kaikkien integraalifunktioiden joukko: int f(x) dx = F(x) + C. Integroimisvakio C kuuluu aina vastaukseen.
• Määrätty integraali — luku, ei funktio: int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a). Vakio C supistuu erotuksessa pois.
• Analyysin peruslause — yhdistää derivaatan ja integraalin: jatkuvan funktion kertymäfunktion derivaatta on funktio itse.
• Etumerkillinen ala — x-akselin yläpuolinen osa laskee integraalin arvoa ylös, alapuolinen alas. Integraali voi olla negatiivinen, pinta-ala ei.
• Käyrien väliin jäävä ala — int_a^b (ylempi - alempi) dx, missä a ja b ovat käyrien leikkauskohtien x-koordinaatit.
• Pyörähdystilavuus — kun y = f(x) pyörähtää x-akselin ympäri, V = pi * int_a^b (f(x))^2 dx. Poikkileikkaus on ympyrä, jonka säde on f(x).
• Sijoitusmenetelmä — muuttujanvaihto u = g(x), du = g'(x) dx; ketjusäännön käänteisoperaatio.