MAA12 Analyysi ja jatkuva jakauma — kertaus yo-kokeeseen

Mitä sensori odottaa tästä moduulista

MAA12 kokoaa analyysin käsitteet täsmällisiksi: jatkuvuus ja derivoituvuus määritelmien tasolla, väliarvolause, epäoleelliset integraalit ja jatkuvat jakaumat. Tehtävät ovat harvoin pelkkää laskemista — sensori odottaa, että ehdot tarkistetaan ennen lauseen käyttöä: väliarvolausetta ei saa soveltaa mainitsematta, että funktio on jatkuva suljetulla ja derivoituva avoimella välillä. Epäoleellinen integraali on kirjoitettava raja-arvona, ei suoraan sijoituksena "äärettömyyteen". Normaalijakaumatehtävässä pisteitä tuovat standardointi näkyvissä, oikein luettu kertymäfunktion arvo ja vastauksen tulkinta tilanteen kielellä.

Ydinkäsitteet

• Jatkuvuus kohdassa a — lim(x→a) f(x) = f(a). Vaatii kolme asiaa: f(a) on määritelty, raja-arvo on olemassa, ja ne ovat samat.
• Derivoituvuus kohdassa a — erotusosamäärän raja-arvo lim(h→0) [f(a+h) - f(a)] / h on olemassa äärellisenä.
• Hierarkia — derivoituva => jatkuva, mutta ei kääntäen; |x| on jatkuva mutta ei derivoituva kohdassa 0.
• Väliarvolause — jos f on jatkuva välillä [a,b] ja derivoituva välillä (a,b), niin on olemassa c välillä (a,b), jolle f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a).
• Rollen lause — väliarvolauseen erikoistapaus: jos lisäksi f(a) = f(b), niin jossakin kohdassa f'(c) = 0.
• Epäoleellinen integraali — integraali yli rajoittamattoman välin tai rajoittamattoman funktion; määritellään raja-arvona. Suppenee, jos raja-arvo on olemassa äärellisenä, muuten hajaantuu.
• Tiheysfunktio — jatkuvan satunnaismuuttujan f, jolle f(x) >= 0 ja koko alueen yli integroituna 1. Todennäköisyys on pinta-alaa: P(a <= X <= b) on integraali f:n yli välillä [a,b].
• Kertymäfunktio — F(x) = P(X <= x); jatkuvalla jakaumalla F' = f.
• Odotusarvo ja keskihajonta — jakauman keskikohta ja leveys; merkitään my ja sigma.
• Normaalijakauma — symmetrinen kellokäyrä N(my, sigma^2); standardoituna N(0,1), jonka kertymäfunktiota merkitään fii.